Strašák. CERMAT. Přijímačky. Pythagorova věta. Odmocnina. Logaritmus. Nebo jen zoufalé zvolání: „Ježiš, to nechápu.“

Slova a asociace, které matematiku doprovázejí na její cestě, aniž by si to matematika snad něčím zasloužila. Jako by nám lidem něco provedla. Přitom matematika nebyla vytvořena proto, aby nás trápila. Naopak vznikala z úplně jiné potřeby: porozumět světu: změřit pole, rozdělit chléb na stejné části, sledovat pohyb hvězd, spočítat vzdálenost, popsat tvar…

 

Historie matematiky je historií lidské snahy pochopit svět kolem nás. To, co se učíme dnes, jsou výsledky vývoje po staletí.

3:4:5

6. století př.n.l., Pythagoras a Pythagorejská škola. Asi každý z nás si vybaví výraz:  . Ale víme, co skutečně znamená? Pythagorova věta říká, že obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.

Jinými slovy: pokud má trojúhelník strany v poměru například 3 : 4 : 5, je pravoúhlý. A právě tento vztah se od starověku používá při měření, stavění a určování pravých úhlů.

Přesuneme-li se od vzorečku, který sám o sobě je nic moc neříkající, k praktickému využití, dostaneme se do stavebnictví, architektury, fyziky, geodézie, informatiky nebo počítačové grafiky.

Z abstraktního vzorečku se tak stává nástroj pro praktické využití. Ale znají ho naši žáci? Učíme je tak, aby znali význam vzorečku?

 

Zlatý řez

Eukleidovy základy, jedno z nejvlivnějších děl v dějinách matematiky, 4. stol. př.n.l. Eukleidés v nich systematicky uspořádal geometrii, logiku důkazu a práci s matematickými vztahy tak, že jeho pojetí ovlivňovalo výuku matematiky po více než dva tisíce let.

Mimochodem, právě u Eukleida najdeme i popis dělení úsečky, které dnes známe jako zlatý řez.

Zlatý řez znamená, že úsečka je rozdělena na dvě části tak, že poměr celé úsečky k její delší části je stejný jako poměr delší části ke kratší části. Hodnota tohoto poměru je přibližně 1,618. Tento poměr se vyskytuje v architektuře, obrazech, sochařství…

 

A pokud si vezmete do ruky platební kartu, tak délky stran jsou v poměru 1,586, hodnota přibližující se právě zlatému řezu. Zajímavost, zajímavosti přitahují pozornost, učíme žáky zajímavě?

 

Kolik nul má milion?

Ano, šest. A poděkujme za nuly Brahmaguptovi. Indickému matematikovi a astronomovi, který v 7. století n.l. začal pracovat s nulou jako s číslem. Začal s ní provádět početní operace. Sama o sobě nula vyjadřuje „nic“. Ale právě toto „nic“ umožnilo zapisovat čísla v poziční desítkové soustavě.

Jak jinak bychom rozlišili čísla 33, 303, nebo 3003, kdybychom neměli nulu?

Bez nuly by nebyla dnešní matematika, účetnictví, digitální technologie a ani milion.

 

Jak se rozmnožují králíci?

Matematika dokáže krásně popisovat přírodní jevy, i to, jak se rozmnožují králíci. Vezměme si Fibonacciho posloupnost. Mnozí ji znají jako slavnou úlohu o rozmnožování králíků. Začíná čísly:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… následující číslo vznikne jako součet dvou předchozích (13+21=…)

Vysvětlení s králiky:

Fibonacci tuto posloupnost představil ve své knize Liber Abaci na příkladu ideálního rozmnožování králíků. Model stojí na několika zjednodušených pravidlech:

• začínáme s jedním novorozeným párem králíků,
• králíci dospějí za jeden měsíc,
• každý dospělý pár má každý další měsíc jeden nový pár mláďat,
• králíci neumírají.

Samozřejmě to není biologicky realistický popis skutečné králičí populace. Je to matematický model, který ukazuje, jak může určitý typ růstu probíhat podle jednoduchého pravidla.

Populace pak roste takto:

1. měsíc: Máme jeden mladý pár.
Celkem: 1 pár

2. měsíc: Pár dospěje, ale ještě nemá mláďata.
Celkem: 1 pár

3. měsíc: Původní pár má první mláďata.
Celkem: 2 páry

4. měsíc: Původní pár má další mláďata a první mladý pár mezitím dospívá.
Celkem: 3 páry

5. měsíc: Rozmnožují se už dva dospělé páry. Přibudou tedy dva nové páry.
Celkem: 5 párů

A tak pokračujeme dál:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Fibonacciho posloupnost ale není jen historická zajímavost o králících. Objevuje se v kombinatorice, teorii čísel a často také v přírodních strukturách.

Najdeme ji ve spirálách semen slunečnice, ve šupinách šišek, v uspořádání ananasu, v růstu některých rostlin nebo v počtech okvětních lístků některých květů. Neznamená to, že celá příroda „je Fibonacci“. To by bylo příliš jednoduché. Znamená to ale, že určité matematické vztahy se v přírodě vyskytují a opakují .

 

Newton & Leibniz 

Přesuňme se do 17. století. Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz. Dva velikáni, kteří nezávisle na sobě rozvíjeli diferenciální a integrální počet. Jejich spor o to, kdo byl první, přenechám historikům. 

Zajímavější je, proč vůbec derivace a integrály vznikly? Nevznikly proto, aby potrápily studenty u zkoušek. Vznikly z potřeby popsat pohyb, změnu a přírodní jevy.

Když se těleso pohybuje, jakou má rychlost v jednom přesném okamžiku? Když planeta obíhá kolem Slunce, jak se mění její poloha a rychlost? Když sledujeme křivku, jak určíme její směr v jednom konkrétním bodě?

Právě tyto otázky vedly ke vzniku pojmů, které dnes známe jako derivace a integrály. Newton vycházel především z fyziky a pohybu těles. Leibniz vytvořil zápis a symbolický aparát, který používáme dodnes.

 

 

Tyto krátké historické příběhy měli za cíl ukázat a dokázat, že matematika není cizí jazyk, který nám někdo vnutil. Vznikala po staletí, jako potřeba pro život, jako hledání odpovědí na otázky.

 

Napadá mě otázka ze současnosti. Když matematika není problém, proč je sama o sobě problém? Proč činí studentům takový problém?

 Možná je problém způsob, jakým o ní mluvíme a jak její významnost reprodukujeme dále? Možná je problém, že z příběhu se staly kusé informace? Možná je problém, že si pamatujeme vzorce, ale nerozumíme jim?

A jak učíme ve školách? S nadšením, v příbězích, v souvislostech? Nebo abstraktně, tematicky separovaně a vzorečky ve stylu obvod obdélníku o =2 (a+b), ve kterém pak většina žáků udělá chybu. Protože jim nikdo neřekl, že mnohem snazší je sečíst jednoduše všechny strany. Protože nerozumí ani jak tento vzoreček vznikl, ani že to je informace, který je neobohacuje, nýbrž zatěžuje.

 

Matematika sama o sobě není strašák. Je to jeden z nejstarších a nejpřesnějších způsobů, jak se člověk snažil porozumět světu. Matematika nám může zjednodušit život, za předpokladu, že ji chápeme, ideálně v souvislostech.

A v době, kdy pochybujeme o tom, co je pravda a co není pravda, buďme vděční za exaktní vědu, kterou matematika je.